大学入試風問題安置所　数学解答

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まず、絶対条件としてa²+b²=c²…(1)

 

aは奇数だから、自然数mを用いて、

a=2m-1…(2)

と表せる。

ここで図の正方形を考えると、黒塗り部分がb²、赤塗り部分がa²、全体がc²を表すと考えることができる。なお、d=c-b…(3)　とおいている。

正方形の図より、

a²=2bd+d²…(4)

また、(2)より、

a²=4m²-4m+1…(5)

だから、(4)、(5)より、

2bd+d²=4m²-4m+1

変形して、

b=(4m²-4m+1-d²)/(2d)…(6)

 

ここで、dが偶数のとき、d=2n(nは自然数)と書けるから、(4)より、

a²=4bn+4n²=4(bn+n²)

文字は全て自然数だから、aは偶数になってしまう。これは「aが奇数」という条件と矛盾する。

よって、dは奇数だから、自然数nを用いて、d=2n-1 と表せる。

 

だから(6)は、

b=(4m²-4m+1-(2n-1)²)/(2(2n-1))

変形して、

b=(2(m-n)(m+(n-1)))/(2n-1)

bは自然数だから、m-nかm+(n-1)が2n-1の倍数でなければならない。どちらかを2n-1の倍数だと仮定すると、m-nとm+(n-1)の差がちょうど2n-1であることから、もう片方も2n-1の倍数になる。

だから、bは2n-1の倍数である。

aは(4)より、d、すなわち2n-1の倍数であることは明らかなので、(1)より、cも2n-1の倍数になる。

これは、2n-1=1の場合を除いては、「これ以上縮小できない」という条件に反する。

 

ゆえに、2n-1=1

つまりd=1であり、c-b=1