コンクリートのミルフィーユ
大学入試風問題安置所 数学
1(易) 解答
∠Bが直角の直角三角形ABCがある。辺BC上に点Dがあり、三角形ABD、三角形ADCにそれぞれ同じ大きさの円が内接している。今、ABの長さが8cm、ACがADより7cm長いとき、AC、AD、BCの長さおよび内接円の半径を求めよ。
[1779磐田市医王寺]
2(難) 解答
(1) √3は有理数か。
(2) cos5°は有理数か。
(3) 鋭角の一つが5°の直角三角形がある。長さが有理数の辺は最大何本とれるか。
[2011/12/08:類2006京数後]
3(易) 解答
行列
に対し、Anの(1,1)成分をanとする。
を求めよ。
[2011/11/22:改2011/2012２京実数一(2)]
4(易) 解答
曲線C：y=x3上に、x座標が0でない点Aをとる。AにおけるCの接線とx軸との交点をBとし、線分ABの中点をMとする。このとき、△OABの外心XとMとの距離の最小値を求めよ。
[2011/12/10:改2011/2012１京オ添数四]
15(易) 解答
初項から第n項(n≧1)までの和Snが、Sn=n3+2pn2+3pn+4p+5を満たす数列{an}がある。数列{an}の階差数列を{bn}とするとき、数列{bn}が等差数列となるpの値を求め、数列{bn}の一般項を求めよ。
[2012/01/08:改パマ数ⅡB1三]
16(易) 解答
AB=5、AC=3、∠BAC=120°の△ABCがある。図のように、∠ABCの外角の二等分線と∠ACBの外角の二等分線の交点をDとする。また、Dから直線AB、BC、CAにそれぞれ垂線を引き、その足を順にE、F、Gとする。このとき、△ABDの外接円の半径を求めよ。
[2012/01/09:改パマ数ⅠA2三]
17(難) 解答
全ての辺の長さが整数の直角三角形で、最短辺の長さaが奇数のとき、残りの2辺の長さの差c-bは1であることを証明せよ。ただし、3辺の長さが9、12、15の三角形のように、相似を用いて縮小したら、また全ての辺の長さが整数になるような三角形は除く。
[2012/01/13:自作]